数学题集2015 - 下载本文

1、从1~8这8个自然数中,任取2个奇数,2个偶数,可组成N个不同的四位数,求N 答:C(4 2)*C(4 2)*A(4 4)=6*6*4!=864个 2、从1~8这8个自然数中,任取2个奇数作千位和百位数字,2个偶数作十位和个位数字,可组成N个不同的四位数,求N

答:C(4 2)* A(2 2)*C(4 2)* A(2 2)=6*2*6*2=144

3、充分性判断:P=1/9,(1)将骰子先后抛郑2次,抛出的骰子向上的点数之和为5的概率为P (2)将骰子先后抛郑2次,抛出的骰子向上的点数之和为9的概率为P 答:和为5有1,4;2,3;3,2;4,1四种情况故4*1/6*1/6=1/9

和为9有3,6;4,5;5,4;6,3四种情况故4*1/6*1/6=1/9

总共有6*6=36种情况,而得9的只有4种情况,得5的只有4种情况,所以概率P=4/36=1/9 4、(1)在5本不同的书,从中选出3本送给3名同学,每人一本,共有几种不同的送法 (2)书店有5种不同的书,买3本送给3名同学,每人一本,共有几种不同的送法 答:第一个问题:相当于五本书中拿出三本来全排列 A53(5×4×3=60)或从5本书选3本,C53=10送给3

个人:A33=6

第二个问题:因为是五种书而不是五本书,所以应该是5的三次方,即125种(每个人都有五种书可以选择)

5、今有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,现从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选派方法有

答: 首先分析题目求不同的选法种数,故可先从10人中选出4个人,再在这4个人中选两个从事甲任务,剩下的两个人从事乙或丙任务,即可列出式子,求解得到答案解:分析题目先从10人中选出4个人,再在这4个人中选两个从事甲任务,剩下的两个人从事乙丙任务.故可列出:C104?C42?A22=2520.故选C 6、由数字012345组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的情况有多少种? 答:方法1: 没有重复数字的6位数一共有:5×5!=5×120=600个,其中个位数字大于十位数字的和个位小于十位的各占一半。

所以符合条件的一共是600/2=300

方法2: 若个位是0,则十位可以是任意数,一共有:5!=120

若各个不是0,则十位大于个位的一共有:4+3+2+1=10种情况。对每种情况,首位的选择有 5-2=3种,其它三位还有3!,一共有:10×3×3!=180 总和是:120+180=300个。 或

当个位是0时:1*2*3*4*5=120 当个位是1时: 4*3*2*1*3=72 当个位是2时: 3*3*2*1*3=54 当个位是3时 2*3*2*1*3=36 当个位是4时 1*3*2*1*3=18 S=120+72+54+36+18=300

7、3名毕业生分配到4个部门,其中有一个部门分2个人,一共有多少种分法?

答:三名毕业生被分成两部分进入两个部门,既有C32=3种分法;这两部分被分到四个部门中的两个部门

即为:A42=4*3=12; 所有共有:3*12=36种

8、.设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球投放到五

个盒子内,要求每个盒内放1个球,并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则这样的投放方法总数为20种

先选出两个箱子正好与球号相同,有10种,那么看其余的三个箱子:注意:它们中不能有号相符合的,

因为题目说了是恰有所以只有2种选择,再相乘 9、(n个实数x1,x2,……,xn的方差为D,他们的平均数为x拔,设S=1/n*[(X1^2+X2^2+X3^2+……+Xn^2)-n

(x拔)^2],则有(A)

(A)D=S (B)D>S (C)D

2014/11/26 几何与平面分析 第24题、若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0求x-2y的最大值 应该是用几何的方法做更好些

x^2+y^2-2x+4y=0

(x-1)^2+(y+2)^2=5 表示圆心在(1,-2),半径为根号5的圆。

设x-2y=b,它表示一个直线系,随b取值不同而不同。

满足x^2+y^2-2x+4y=0的x-2y的最大值,就是说圆和直线系有交集时b的最大值。

你可以画下图,很容易看出,直线和圆相切时有最大值(上面的是最大值,下面的那个是最小值)。 这时圆心(1,-2)到直线x-2y=b的距离等于圆的半径根号5: |5-b|/根号5=根号5 |5-b|=5

b=10或b=0

b=10是所求的最大值,b=0为最小值,b的取值范围是0<=b<=10。 2014/11/30 34、条件充份性判断,动点p的轨迹是两个圆。(E) 1)|x|+1=√[1-(y-1)^2] 2)(|x|+|y|)^2=1

(1)轨迹方程是|x|+1=√[1-(y-1)^2],由题意知:1-(y-1)^2≥0, (y-1)^2≤1,-1≤y-1≤1,所以有,0≤y≤2.

当x≥0时,两边平方得(x+1)^2+(y-1) ^2=1.

在无限制条件的情况下,方程表示圆心在(-1,1)半径为1的圆。 但由于x≥0, 0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点(0,1)满足条件, 因此轨迹表示一个点。

当x≤0时,两边平方得(x-1)^2+(y-1) ^2=1.

在无限制条件的情况下,方程表示圆心在(1,1)半径为1的圆。 但由于x≤0, 0≤y≤2.所以只能有圆上的一个点(0,1)满足条件, 因此轨迹表示一个点。

综上所述,动点的轨迹表示点(0,1)。

(2)动点P的轨迹方程是(|x|+|y|)^2=1,因此有|x|+|y|=1或

|x|+|y|=-1.

当x≥0,y≥0时有:x+y=1; 当x≤0,y≥0时有:-x+y=1; 当x≤0,y≤0时有:-x-y=1; 当x≥0,y≤0时有:x-y=1,

轨迹是一个正方形,四个顶点在坐标轴上,依次为(1,0), (0,1),(-1,0),(0,-1).

35、(y+1)/(x+2)的最大值为4/3的充分条件是(C) 1、圆O的方程是x^2+y^2=1 2、动点P(x,y)在圆O上运动 证明:(3)圆O的方程是x^2+y^2=1

k=(y+1)/(x+2)即为圆上的点与点(-2,-1)连线的斜率

由图形可知当直线y+1=k(x+2)与圆相切时,k取得最大或最小值 y+1=k(x+2)即kx-y+2k-1=0

直线与圆相切,即点(0,0)到y+1=k(x+2)的距离为1,亦即 |2k-1|/√(k^2+1)=1

解得k1=0,k2=4/3,故[y+1]/[x+2]的最大值为4/3。

2、三个质数之积恰好等于它们和的5倍,则这三个质数之和为 (a+b+c)*5=abc

由于均为质数,

不妨设a=5,则(b+c+5)=bc,因式分解得(b-1)(c-1)=6 (1)b=3,c=4舍 (2)b=7,c=2

故(2,5,7) 26、若y与x-1成正比,比例系数为K1;y又与x+1成反比,比例系数为K2, 且K1:K2=2:3,若两函数图像交点

为(x0,y0),则x0值

由K1:K2=2:3可设k1=2k,k2=3k

(1)、y=2k(x-1) (2)、y=3k/(x+1) 联立(1)(2)得

2k(x-1)=3k/(x+1) 即

2(x-1)=3/(x+1) 解得x0=±√10/2

25、已知|x+y|/(x-Y)=2,求x/y |x+y|=2x-2y≥0

x≥y

则当x≥0,y≥0时 x+y=2x-2y x=3y x/y=3

当x≥0,y≤0时 若x+y≥0

|x+y|=x+y=2x-2y,得x/y=3

若x+y≤0

|x+y|=-x-y=2x-2y,得x/y=1/3 当x≤0,y≤0时 |x+y|=-x-y=2x-2y x/y=1/3

不存在当x≤0,y≥0的情况,此种情况,结果会为负。 则x/y=3或x/y=1/3

27题,m除10^k的余数为1,充分性判断:m除以10的k次方的余数为一。 条件一,既约分数n/m满足0

条件二,分数n/m可以化为小数部分的一个循环节有k位数字的纯循环小数。 该题答案是条件一和条件二联合起来题干成立,求详细推理过程。

(1)好证明,随便举个最简分数的例子,就能推翻这个说法。比如2/5,m=5,5除10^k 余数不为1。 (2)根据叙述,假设循环节这段数字(整数)为P。 比如,3/7 = 0.428571 428571 428571... P=428571, k=6 P = 10^k * n/m - n/m P = (10^k - 1) * n/m

到这步,需要把条件(1)放进来

(10^k-1)肯定是整数,其值=P*m/n ,n/m为既约分数,所以P必然是n的倍数。 10^k=m*(p/n)+1,即10^k除以m的余数为1,两个条件合起来成立。

2014/12/1 第六题:若4x^4-ax^3+bx^2-40x+16是完全平方式,则a,b的值为

1 设这个式子是2x^2+cx+d 则(2x^2+cx+d)^2 =4x^2+4x^2(cx+d)+c^2x^2+2cdx+d^2

=4x^2+4cx^3+4dx^2+c^2x^2+2cdx+d^2=4x^4-ax^3+bx^2-40x+16 所以d^2=16,2cd=-40 得到d=4,c=-5或d=-4,c=5 因此b=(4d+c^2)=(16+25)=41 或b=(-16+25)=9 a=-4c=20或a=-20 因此a=20 b=41或a=-20 b=9 提问者评价

高人!

我也作出来了

用(a+b+c)^2和(a-b+c)^2

7、设ax^3+bx^2+cx+d都被x^2+h^2 (h不等于零)整除,则a,b,c,d间的关系为 答案:ad=bc 用待定系数法。 解: 令ax3+bx2+cx+d=(x2+h2)(ax+m) ax3+bx2+cx+d=ax3+mx2+ah2x+mh2 (b-m)x2+(c-ah2)x+(d-mh2)=0 b-m=0 c-ah2=0 d-mh2=0

解得b=m c=ah2 d=mh2=bh2 h2=c/a h2=d/b c/a=d/b ad=bc

8、已知a,b,c,d为不等于零的实数,且a不等于b,c不等于d,ad+bc不等于0,,设m1=a+b/a-b,m2=c+d/c-d,m3=ac-bd/ad+bc,则有 (A)m1+m2+m3>m1m2m3 (B)m1+m2+m3=m1m2m3 (C)m1+m2+m3<m1m2m3

(D)m1+m2+m3=1/m1m2m3

m1+m2+m3=(a+b)/(a-b)+(c+d)/(c-d)+(ac-bd)/(ad+bc) =(2ac-2bd)/(a-b)(c-d)+(ac-bd)/(ad+bc)

=(ac-bd)*(2ad+2bc+ac-ad-bc+ad)/(a-b)(c-d)(ad+bc) =(ac-bd)(a+b)(c+d)/(a-b)(c-d)(ad+bc) =m1m2m3 因此选择B

10、已知x^2-1=3x,则多项式3x^3-11x^2+3x+2的值为( ) 本题答案:0 x2=3x+1 则x2用3x+1代替 x3=x×x2 =x(3x+1) =3x2+x =3(3x+1)+x =10x+3

原式=3(10x+3)-11(3x+1)+3x+2 =30x+9-33x-11+3x+2 =0

11、已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1;除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以(x+2)(x+3)所得的余式为? 解一:

因为 f(x) 除以 x+2 所得的余数为 1 ,

所以 令 f(x)=p(x)*(x+2)+1 ,其中p(x)是多项式函数。 由此得 f(-2)=1 ,同理 f(-3)=-1 ,

因此,设 f(x)=q(x)*(x+2)(x+3)+(ax+b) , 则 f(-2)=-2a+b=1 且 f(-3)=-3a+b=-1 , 解得 a=2,b=5 ,

所以 f(x) 除以 (x+2)(x+3) 所得的余式为 2x+5 。 解二:

12、对于任意实数X属于(1/8,1/7),代数式|1-2X|+|1-3X|+|1-4X|+...+|1-10X|的值为() 解:

x∈(1/8,1/7)

1/8