稳定性理论 - 下载本文

微分方程的稳定性理论简介

一阶方程的平衡点及稳定性

设有微分方程

x(t)?f(x) (1)

右端方程不显含自变量t,称为自治方程。代数方程

f(x)?0

?的实根x?x0称为方程(1)的平衡点(或齐点)它也是方程(1)的解(齐解)。

如果存在某个邻域,使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发,满足

limx(t)?x0 (3)

t??则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐近稳定);否则,称x0是不稳定的(不渐近稳定)

判断平衡点x0是否稳定点通常有两种方法。利用定义即(3)式称

间接法。不求方程(1)的解x(t),因而不利用(3)式的方法称直接法。下面介绍直接法。

将f(x)在x0点做

Taylor展开,只取一次项,方程(1)近似为

'x(t)?f(x0)(x?x0) (4) ?(4)称为(1)的近似方程,x0也是方程(4)的平衡点。关于x0点稳定性有如下结论:

'若f(x0)<0, 则x0对于方程(4)和(1)都是稳定的; '若f(x0)>0,则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的。

(4)的稳定性很容易由定义(3)式证明,因为若记f'(x0)?a,x0对于方程则(4)的一般解是

x(t)?ceat?x0

其中c是由初始条件决定的常数,显然,当a?0时(3)式成立。

二阶方程的平衡点和稳定性

二阶方程可用两个一阶方程表示为

???x1(t)?f(x1,x2) ? (6) ???x2(t)?g(x1,x2)

右端不显含t,是自治方程。代数方程组 ??f(x1,x2)?0 (7)

?g(x1,x2)?0的实根x1?x10,x2?x20称为方程(6)的平衡点,记做P0(x10,x20)。

如果存在某个邻域,使方程(6)的解x1(t),x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0),x2(0))出发,满足

limx1(t)?x10 ,limx2(t)?x20 (8)

t??t??则称平衡点P0是稳定的(渐近稳定);否则,称P0是不稳定的(不渐近稳定)。

为了用直接法讨论方程的(6)的平衡点的稳定性,先看线性常系数方程

??x1(t)?a1x1?a2x2 ? (9) ????x2(t)?b1x1?b2x2系数矩阵记做

A??1 2? (10)

bb?12?为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0,0)的稳定性,假定A的行列式

detA?0 (11)

P0(0,0)的稳定性由(9)的特征方程

?aa? det(A??I)?0 (12) 的根?(特征根)决定。方程(12)可以写成更加清晰的形式

??2?p??q?0? ?p??(a1?b2) (13)

?q?detA?特征根记作?1,?2,则

?2?(?p?p2?4q) (14) ?1,

?112方程(9)的一般解具有形式c1e?t?c2e?t(?1??2)或c1e?t?c2te?t(?1??2),c1,,

212c2,为任意常数。按照稳定性的定义(8)式可知,当?1,?2为负数或

有负实部时P0(0,0)是稳定平衡点;而当?1,?2有一个为正数或有正实部时P0(0,0)不是稳定平衡点。在条件(11)下?1,?2不可能为零。

微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型,完全由特征根?1,?2或相应的p,q取值决定。下表简明地给出了这些结果,表中最后一列指按照定义(8)式得到的关于稳定性的结论。

?1,?2 p,q 平衡点类型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心 稳定性 稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定 ?1??2?0 ?1??2?0 p?0,q?0,p2?4q p?0,q?0,p2?4q q?0 ?1?0??2 ?1??2?0 ?1??2?0 p?0,q?0,p2?4q p?0,q?0,p?4q p?0,q?0,p2?4q 2?1,2????i,??0 ??1,2????i,??0 p?0,q?0,p2?4q ??1,2????i,??0 p?0,q?0 ?

表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性

由表1可以看出,根据特征方程的的系数p,q的正负很容易判断平衡点的稳定性,准则如下:若

p?0,q?0 (15) 则平衡点稳定;

若p?0 或q?0 (16)

则平衡点不稳定。

以上是对线性方程(9)的平衡点P0(0,0)稳定性的结论,对于一般的非线性方程(6),可以用近似线性方法判断其平衡点

00P0(x1,x2)的稳定性。在P0点将f(x1,x2)和g(x1,x2)作Taylor展开,只取

一次项,得(6)的近似线性方程

??000000x(t)?f(x,x)(x?x)?f(x,x)(x?x)1x1211x1222?12 ?? (17)

00000?x2(t)?gx(x10,x2)(x?x)?g(x,x)(x?x)11x1222?12系数矩阵记作

fx2??fx1 A?? ? (18)

gg?x2??x1?P0(x10,x20)

特征系数为

p??(fx?gx)P,q?detA (19)

110显然,P0点对于方程(17)的稳定性由表1或在准则(15),(16)决定,而且已经证明了如下结论:

若方程(17)的特征根不为零或实部不为零,则P0点对于方程(6)的稳定性与对于近似方程(17)的稳定性相同,即由准则(15),(16)决定。

最后,提出以下几点值得注意:

1. 平衡点及其稳定性的概念只是对自治方程(1),(6)而言才有意义。

2. 非线性方程(1),(6)的平衡点的稳定性,与相应的近似线性方程(4),(17)的平衡点的稳定性一致,是在非临界情况下(即a?0或p,q?0)得到的,在临界情况下(即a?0或p,q?0)二者可以不一致。

3. 在讨论平衡点稳定性时,对初始点的要求是存在一个邻域,这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点,(3),(8)式成立,称为全局稳定。对于线性方程,局部稳定与全局稳定是