2009数学建模作业题 - 下载本文

数学建模●A类习题 第 组 第 章

价两种情况讨论。

(2)你要购置一台个人电脑(台式机或笔记本),考虑功能、价格等的因素,如何作出决策。 (3)为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。

(4)你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场,是养猪,还是养鸡、养鸭、养兔???

2

8.6 右图是5位网球 选手循环赛的结果。作为

3 1 竞赛图,它是双向连通的

吗?找出几条完全路径, 用适当方法排出5位选手 的名次。 4 5

8.7 排名次的另一种方法是考察“失分向量”以代替得分向量(选手输掉场次的数目为他的失分),按失分由小到大排列名次。

(1)证明:这相当于把竞赛图中各有向边反向后,按得分向量排列名次,再把名次倒过来。 (2)用失分向量方法对

1

右图的竞赛图排列名次, 结果与用得分向量方法一 致吗? 2 3 4

8.8 公共汽车系统用带符号的有向图表示如下,其中只有单位距离票价随着乘客行程的增加应该提高还是降低尚未确定(图中有向边1?2的标以?号).讨论这个符号应为 ? 还是 - 才能使冲量过程稳定.

2 3 -

? - - - 1 5 + + + 4 + - 6 + + + +

+ 7 8

1-乘客的行程; 2-单位距离票价; 3-节油量; 4-燃料消耗 5-污染; 6-事故; 7-晚点; 8-居民人数

8.9 某甲(农民)有一块土地,若从事农业生产可收入1万元.若将土地组给某乙(企业家)用于工业生产,可收入3万元。当旅店老板请企业家参与经营时,收入达4万元。为促成最高收入的实现,试用Shapley值方法分配各人的所得。

8.10 某作坊若由作坊主甲经营估计年获利1万元,若租给乙经营估计年获利5万元,若租给丙经营估计年获利6万元,若乙、丙合伙经营估计年获利10元。试按Shapley公式计算在最大获利情况下各人的所得。

8.11 议会有100个席位,分别为四个党派所得,它们拥有的席位数分别为40、30、20、10。设法律

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规定提案需

2赞成方能通过,试用Shapley公式计算各党派在议会表决中的权重(设同派别的成员投票一3致)。

8.12 设议会的席位由三个党派所拥有,法律规定提案需半数赞成方能通过。证明: (1)若存在一个党派,其席位数过半,则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用; (2)若任一党派的席位数均少于总席位数的一半,则三个党派在表决中所起的作用相同。

8.13 用最小距离意义下的选举规则研究由下式给出的投票:

p1:x?y?z, p2:y?z?x, p3:z?x?y

(1)如果以

?d(p,p)最小为原则确定选举结果p,说明p可以是p,p或p中任一个;

i1233i?13(2)如果以

?di?12(p,pi)最小为原则确定选举结果p,说明p:x~y~z。

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第9章 概率模型

9.1 在传送带效率模型中,设工人数n固定不变。若想提高传送带效率D,一种简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m,比如增加一倍,其它条件不变。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子,其它条件不变,于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子,只要其中一只钩子是空的,他就可以挂上产品,这种办法用的钩子数量与第一种办法一样。试推导这种情况下传送带效率的公式,从数量关系上说明这种办法比第一种办法好。(传送带效率模型见姜启源《数学模型》第271页)

9.2 设某货物的需求量呈正态分布,已知其均值??150,标准差??25。该商品每件进价为8元,

售价为15元,处理价为5元,缺货供应没有损失。问最佳订货批量应是多少?

9.3 某商店预期商品年销售量为350件,且在全年(按300天计算)内基本均衡。若该商店每组织一次进货需订货费50元,存贮费每年每件13.75元,当供应短缺时,每缺一件的机会损失为25元。已知订货提前期为零,求经济订货批量和最大允许的缺货数量。

9.4 一商店拟出售甲商品,已知每单位甲商品成本为50元,售价为70元,如果售不出去,每单位商品将损失10元。已知甲商品销售量k服从参?(即平均销售量为6单位)的泊松分布p(k)??6?ke??k!,

k?0.1,2,?。问该商店订购量应为多少单位时,才能使平均收益最大?

9.5 某公司利用塑料作原料制成产品出售,已知每箱塑料购价为800元,订购费为60元,存贮费为40元,缺货费为1015元,原有存贮量为10元,并已知该公司对原料需求的概率为

P(k?30)?0.20,P(k?40)?0.20,P(k?50)?0.40,P(k?60)?0.20,试求该公司订购原料的策略。

9.6 建立交货时间为随机变量的存贮模型。设商品订货费为c1,每件商品单位时间的贮存费为c2,缺货费为c3,单位时间需求量为r。下图中L称为订货点。当贮存量降到L时订货,而交货时间x是随机的,如图中的x1,x2,?。设x的概率密度函数为

p(x)。订货量使下一周的贮存量达到固定值Q。为了使总费用

最小,选择合适的目标函数建立数学模型,确定最佳订货点L。

q Q r r L x1 o t x2 任课教师:郑勋烨 第 28 页 共 36 页 日期:20 年 月 日

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9.7 在轧钢问题中,若钢材粗轧后长度在l1与l2之间的可降级使用,长度小于l1的才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型,使某种意义下的浪费最小。(轧钢问题见姜启源《数学模型》第278页)

9.8 做出与确定性阻滞增长模型相应的假设,建立随机性的阻滞增长模型。

9.9 考察一种既不同于指数模型,也不同于阻滞增长模型的情况:人口为x(t),最大允许人口为xm,

t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正比。

(1)建立确定性模型,将结果作图,与指数模型和阻滞增长模型的结果进行比较。

(2)做出适当的假设,建立相应的随机模型,求出人口的期望值,并解释其与(1)中的x(t)在形式上完全一致的意义。

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第10章 统计回归模型

10.1 下表是20世纪60年代世界人口增长的统计资料(单位:百万),试确定世界人口的最佳回归方程,并预测2000年的世界人口。

年份 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 2972 3061 3151 3213 3234 3285 3356 3420 3483 10.2 据观察,个子高的人一般腿都长,今从16名成年女子测得数据如下表,希望从中得到身高x与腿长y之间的回归关系。

身高x与腿长y观测数据

xcm ycm xcm ycm 143 88 155 96 145 85 156 98 146 88 157 97 147 91 158 96 149 92 159 98 150 93 160 99 153 93 162 100 154 95 164 102

10.3 某厂表面处理车间试验将铬后污水同电解污泥混合,使之生成无毒液体,效果很好。但实际排出污水的浓度不大相同,而且一定浓度的定量铬后污水只有同定量的电解污泥混合后,才能反应完全。现通过试验,找出铬后污水量与电解污泥用量之比对于铬后污水浓度之间的关系,实验数据如下表所示。

铬后污水用量与电解污泥用量实验数据

序 号 铬后污水浓度x(g/l) 1 3 2 5 3 10 4 30 5 40 6 50 铬后污水用量(ml) 电解污泥用量(ml)序 号 铬后污水浓度x(g/l) 310 7 60 200 8 80 100 9 100 49 10 120 40 11 160 32 铬后污水用量(ml) 电解污泥用量(ml)28 23 16 14 10

10.4 研究小麦产量(y)对肥料水平(x)的关系,有如下观测数据,试确定之。

小麦产量与肥料水平观测数据

序号 1 0 26.2 2 10 30.4 3 20 36.3 4 30 37.8 5 40 38.6 x y

10.5 炼钢厂出钢对所用盛钢水的钢包在使用过程中,钢渣及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增长。经试验,钢包的容积y(由于容积不便测量,故以钢包盛满时钢水的重量来表示)与相应的使用次数x(也称包龄)的数据如下表所示,请找出定量关系。

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