分类计数原理和分步计数原理教案1 - 下载本文

分类计数原理和分步计数原理教案1

教学目标

正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理,并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题,从而发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力.

教学重点和难点

重点:分类计数原理和分步计数原理.

难点:分类计数原理和分步计数原理的准确应用. 教学用具 投影仪. 教学过程设计 (一)引入新课

师:从本节课开始,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特,研究问题的方法不同一般.虽然份量不多,但是与旧知识的联系很少,而且它还是我们今后学习概率论的基础,统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上,只要涉及安排调配的问题,就离不开它. 今天我们先学习两个基本原理.

(这是排列、组合、二项式定理的第一节课,是起始课.讲起始课时,把这一学科的内容作一个大概的介绍,能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解,并为下面的学习研究打下思想基础) 师:(板书课题) (二)讲授新课 1.介绍两个基本原理

师:请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1).

问题1:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4个班次,汽车有2个班次,轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法? 师:(启发学生回答后,作补充说明)

因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4+2+3=9

种不同的走法.

这个问题可以总结为下面的一个基本原理. (打出片子——分类计数原理)

分类计数原理:做一件事,完成它可以有几类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. (教师放慢速度读一遍分类计数原理)

师:请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2).

问题2:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(见图9-1),从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?

师:(启发学生回答后加以说明)

这里,从A村到B村,有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又各有2种不同的走法,因此,从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法. 一般地,有如下基本原理: (找出片子——分步计数原理)

分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法.

(教师要读一遍分步计数原理) 2.浅释两个基本原理

师:两个基本原理是干什么用的呢?

生:计算做一件事完成它的所有不同的方法种数. (如果学生不能较准确地回答,教师可以加以提示) 师:比较两个基本原理,想一想,它们有什么区别呢?

(学生经过思考后可以得出:各类的方法数相加,各步的方法数相乘.) 两个基本原理的区别在于:一个与分类有关,一个与分步有关. 师:请看下面的分析是否正确. (打出片子——题1,题2)

题1:找1~10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数,共有4个;第二类办法是找含因数3的合数,共有2个;第三类办法是找含因数5的合数,共有1个.

1~10中一共有N=4+2+1=7个合数.

题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路需要8时,中路需要4时,南路需要6时,B村到C村的北路需要5时,南路需要3时,要求步行从A村到C村的总时数不超过12时,共有多少种不同的走法?

第一步从A村到B村有3种走法,第二步从B村到C村有2种走法,共有N=3×2=6种不同走法.

生乙:从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项,这样安排,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培养学生的学习能力)

师:为什么会出现错误呢?

生:题1的分类可能有问题吧,题2都走北路不符合要求. 师:(教师归纳)

进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用分类计数原理,否则不可以.

如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以直接应用分步计数原理.

也就是说:类类互斥,步步独立.

(在学生对问题的分析不是很清楚时,教师及时地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清晰和明确,不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质) (三)应用举例

师:现在我们已经有了两个基本原理,我们可以用它们来解决一些简单问题了.请看例题1.(板书)

例1书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书. (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?

(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法? (让学生思考,要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由,教师巡视指导,并适时口述解法)

师:(1)从书架上任取一本书,可以有3类办法:第一类办法是从3本不同数学书中任取1本,有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本,有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本,有6种方法.根据分类计数原理,得到的取法种数是

N=m1+m2+m3=3+5+6=14.

故从书架上任取一本书的不同取法有14种.

师:(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,需要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法;第二步取1本语文书,有5种方法;第三步取1本英语书,有6种方法.根据分步计数原理,得到不同的取法种数是

N=m1×m2×m3=3×5×6=90.

故,从书架上取数学书、语文书、英语书各1本,有90种不同的方法. 师:(3)从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类办法:第一类办法是数学书、语文书各取1本,需要分两个步骤,有3×5种方法;第二类办法是数学书、英语书各取1本,需要分两个步骤,有3×6种方法;第三类办法是语文书、英语书各取1本,有5×6种方法.一共得到不同的取法种数是

N=3×5+3×6+5×6=63.

即,从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种. 师:请大家再来分析和解决例题2. (板书)

例2由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?

师:每一个三位整数是由什么构成的呢? 生:三个整数字.

师:023是一个三位整数吗? 生:不是,百位上不能是0.