2014届高考数学一轮复习 第7章《基本不等式及其应用》名师首选学案 新人教A版 - 下载本文

学案34 基本不等式及其应用

导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

自主梳理

a+b1.基本不等式ab≤ 2

(1)基本不等式成立的条件:__________.

(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. 2.几个重要的不等式

22

(1)a+b≥______ (a,b∈R).

(2)+≥____(a,b同号).

baab?a+b?2 (a,b∈R).

??2?a+b?2a2+b2?(4)??____2. ?2?

(3)ab≤?

3.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为__________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:____________________________________.

4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当______时,x+y有最____值是______(简记:积定和最小).

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当______时,xy有最____值是________(简记:和定积最大).

自我检测

a2+b2

1.“a>b>0”是“ab<”的______________条件.

2?1?x?a+b?,B=f(ab),C=f?2ab?,

2.已知函数f(x)=??,a、b∈(0,+∞),A=f???a+b??2??2???

则A、B、C的大小关系是______________.

3.下列函数中,最小值为4的函数是________(填上正确的序号).

4

①y=x+;

x4

②y=sin x+(0

sin xx-x③y=e+4e; ④y=log3x+logx81.

1

4.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)最大值为______________.

xx5.若对任意x>0,2≤a恒成立,则a的取值范围为________.

x+3x+1

探究点一 利用基本不等式求最值

1

19

例1 (1)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值;

xy51

(2)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值;

44x-5

(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.

14

变式迁移1 已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是________.

ab探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用

11

例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥9.

ab

变式迁移2 已知x>0,y>0,z>0.

??????求证:?+??+??+?≥8.

探究点三 基本不等式的实际应用 例3 某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).

(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;

(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?

购地总费用

(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 建筑总面积

2

yzxzxy?xx??yy??zz?

变式迁移3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.

(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.

(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?

(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

1.a+b≥2ab对a、b∈R都成立;

2

2

a+b2

≥ab成立的条件是a≥0,b≥0;+≥2成

baab立的条件是ab>0,即a,b同号.

2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值.

3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+,当a>0,b<0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a<0,b>0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;当a>0,b>0时函数在?-在?-∞,-

bx??b??,0?,?0, a??b?

?上是减函数,a?

b??b?

,+∞?上是增函数;当a<0,b<0时,可作如下变形:y=-?,?

a??a?

?-ax+?-b??来解决最值问题. ??x??????

课后练习

(满分:90分)

一、填空题(每小题6分,共48分)

11ab1.设a>0,b>0,若3是3与3的等比中项,则+的最小值为________.

??

ab?1a?2.已知不等式(x+y)?+?≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为xy?

?

________.

11

3.已知a>0,b>0,则++2ab的最小值是______.

ab 3

4.一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400 km,为了安全,两列车之间的距离不得小于?? km,那么这批货物全部运到B市,最快需

?20?

要________h.

3x-y-6≤0??

5.设x,y满足约束条件?x-y+2≥0

??x≥0,y≥023

大值为12,则+的最小值为________.

?a?2

,若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的最

ab6.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.

2

7.在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Qx两点,则线段PQ长的最小值是________.

2xx8.已知f(x)=3-(k+1)3+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为______________.

二、解答题(共42分)

4

9.(14分)(1)已知0

3

xy(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2+4的最小值. 10.(14分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千

920v米/小时)之间有函数关系y=2(v>0).

v+3v+1 600

(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?

11.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).

(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1

关于x的函数关系式;

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值.

4

学案34 基本不等式及其应用

答案

自主梳理

1.(1)a≥0,b≥0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤ a+b3. ab 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4.(1)x=y 小

22p (2)x=y 大

p2

4

自我检测

1.充分不必要 2.A≤B≤C 3.③ 4.-22-1

1

5.[,+∞)

5

课堂活动区

例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件.

19

解 (1)∵x>0,y>0,+=1,

xy?19?y9x∴x+y=(x+y)?+?=++10≥6+10=16.

?xy?xyy9x19

当且仅当=时,上式等号成立,又+=1,

xyxy∴x=4,y=12时,(x+y)min=16.

5

(2)∵x<,∴5-4x>0.

4

1?1?y=4x-2+=-?5-4x++3 5-4x?4x-5??

1

5-4x·+3=1,

5-4x1

当且仅当5-4x=,

5-4x即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.

28

(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1. ≤-2 yx8y2x?82?∴x+y=(x+y)?+?=10++ ?xy?

x?4yx?=10+2?+?≥10+2×2×

?xy?

4yx当且仅当=,即x=2y时取等号.

xy

y4yx·=18, xy5