双曲线及其标准方程的学习(二) - 下载本文

要在熟练掌握双曲线及其标准方程的基础上,灵活地将它应用于双曲线有关的问题中,培养学生对知识的重新组合能力和分析问题、解决问题的能力.

1.双曲线及其标准方程在一些问题中的应用.

x2y2??1的右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上的左支上且[例1]已知双曲线

916|PF1||PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

分析:一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形. 解:∵点P在双曲线的左支上 ∴|PF1|-|PF2|=6

22

∴|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|=36

22

∴|PF1|+|PF2|=100

2222

∵|F1F2|=4c=4(a+b)=100 ∴∠F1PF2=90° 评述:(1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化.

(2)题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索.

x2?y2?1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2 [例2]已知F1、F2是双曲线4=90°,求△F1PF2的面积.

分析:利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积.

x2?y2?1上的一个点且F1、F2为焦点. 解:∵P为双曲线4∴||PF1|-|PF2||=2a=4 |F1F2|=2c=25

∵∠F1PF2=90° ∴在Rt△PF1F2中

222

|PF1|+|PF2|=|F1F2|=20

222

∵(|PF1|-|PF2|)=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|=16 ∴20-2|PF1||PF2|=16 ∴|PF1|·|PF2|=2 ∴S?F1PF2?1|PF1|·|PF2|=1 2评述:双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用. 2.利用双曲线定义求动点的轨迹 [例3]已知两点F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹. 分析:问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹. 解:根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵c=5,a=3 222222

∴b=c-a=5-3=4=16

x2y2??1为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线. ∴所求方程

916评述:(1)若清楚了轨迹类型,则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算.

(2)如遇到动点到两个定点距离之差的问题,一般可采用定义去解.

[例4]在△ABC中,BC=2,且sinC-sinB=

1sinA,求点A的轨迹. 2分析:要求点A的轨迹,需借助其轨迹方程,这就要涉及建立坐标系问题,如何建系呢? 解:以BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则B(-1,0),C(1,0).

设A(x,y),由sinC-sinB=|AB|-|AC|=

1sinA及正弦定理可得: 21|BC|=1 2∵BC=2

∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上 设双曲线方程为:

x2y2?2?1(a>0,b>0) 2ab∴2a=1,2c=2

1,c=1 23222

∴b=c-a =

4∴a=

4y2∴所求双曲线方程为4x-=1 32

∵|AB|-|AC|=1>0 ∴x>

1 2∴点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 [例5]求下列动圆圆心M的轨迹方程:

22

(1)与⊙C:(x+2)+y=2内切,且过点A(2,0)

2222

(2)与⊙C1:x+(y-1)=1和⊙C2:x+(y+1)=4都外切.

2222

(3)与⊙C1:(x+3)+y=9外切,且与⊙C2:(x-3)+y=1内切.

分析:这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离.如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1>r2,则当它们外切时,|O1O2|=r1+r2;当它们内切时,|O1O2|=r1-r2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.

解:设动圆M的半径为r

(1)∵⊙C1与⊙M内切,点A在⊙C外

∴|MC|=r-2,|MA|=r,|MA|-|MC|=2

∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,且有:

a=

22227,c=2,b=c-a=

222

2y2∴双曲线方程为2x-=1(x≤-2) 7(2)∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切 ∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2, |MC2|-|MC1|=1

∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支,且有:

a=

12223,c=1,b=c-a= 24∴所求的双曲线方程为:

34x24y-=1(y≥)

432

(3)∵⊙M与⊙C1外切,且与⊙C2内切

∴|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4

∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,且有: a=2,c=3,b2=c2-a2=5 ∴所求双曲线方程为:

x2y2??1(x≥2) 45评述:(1)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题的常用而重要的方法.

(2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小,提高了解题的速度与质量.

(3)通过以上题目的分析,我们体会到了,灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.