七年级数学经典题目专题讲解(含答案)老师版 - 下载本文

解 两边同时乘以6,得

6x-3(x-1)=12-2(x+1) 去分母,得

6x-3x+3=12-2x-2 6x-3x+2x=12-2-3 5x=7 x=

7 5例3某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率.

分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系,因销售价=进价×(1+利润率),故还需设出进价,利用销售价不变,辅助设元建立方程.

解:设原进价为x元,销售价为y元,那么按原进价销售的利润率为 y?xy?93.6%x?100%,原进价降低后在销售时的利润率为?100%,由题意得: x93.6%xy?xy?93.6%x?100%+8%=?100% x93.6%x解得 y=1.17x

1.17x?x故这种商品原来的利润率为?100%=17%.

x例4解方程 │x-1│+│x-5│=4

分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论,而对于含两个绝对值的方程,道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”,再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.

解:由题意可知,当│x-1│=0时,x=1;当│x-5│=0时,x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分,可分别讨论:

1)当x<1时,原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4,解得 x=1.因x<1,所以x=1应舍去.

2)当1≤x≤5时,原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4,解得 4=4,所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.

3)当x>5时,原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4,解得 x=5.因x>5,故应舍去. 所以, 1≤x≤5是比不过的。

讲解 强化练习

m例1:若关于x的方程?m?1?x2?2?0是一元一次方程,求m的值,并求出方程的解。

?m2?1解:由题意,得到??m2?1,?m?1或m??1

?m?1?0当m?1时,m?1?0,?m?1不合题意,舍去。

?当m??1时,关于x的方程?m?1?xm?2?0是一元一次方程,即?2x?2?0,

2?x?1

同步训练:

1、当m= 时,方程?m?3?x是 。

例2:下列变形正确的是( )

A.如果ax?bx,那么a?b B.如果?a?1?x?a?1,那么x?1 C.如果x?y,那么x?5?5?y D.如果a?1x?1,那么x?3、若x?2?1,y?3?4,则用含x的式子表示y= 。 知识点二:含绝对值的方程

绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程,简称绝对值方程,解这类方程的基本思路是:脱去绝对值符号,将原方程转化为一元一次方程求解,其基本类型与解法是:

1、形如ax?b?c?c?0?的最简绝对值方程

这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程:ax?b?c或ax?b??c 2、含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解。

解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法。 例3:方程x?5?2x??5的解是 。

解,x?5??2x?5?x?5??2x?5 ①或x?5?2x?5 ② 由①得x?0;由②得x??10,?此方程的解是x?0或x??10 同步训练 1、若x?9是方程

mmm?2?m?3?0是一元一次方程,这个方程的解

?2?1 a2?111x?2?a的解,则a= ;又若当a?1时,则方程x?2?a33的解是 。

992、已知x?x?2,那么19x?3x?27的值为 。(“希望杯”邀请赛试题)

例4:方程x?5?3x?7?1的解有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 解:运用“零点分段法”进行分类讨论

由x?5?0得,x??5;又由3x?7?0得,x?所以原方程可分为x??5,?5?x?7。 377,x?三种情况来讨论。 33当x??5时,方程可化为??x?5???3x?7??1,解得x?6.5 但6.5不满足x??5,故当x??5时,方程无解;

7337时,方程可化为x?5??3x?7??1,解得x?,满足?5??; 344377当x?时,方程可化为x?5??3x?7??1,解得x?5.5,满足x?。

33综上可知,原方程的解有2个,故选B。

当?5?x?例5:(“希望杯”邀请赛)求方程x?1?x?3?4的整数解。 利用绝对值的几何意义借且数轴求解。

根据绝对值的几何意义知:此式表示点P?x?到A点和B点的距离之和PA?PB?4。 又?AB?4,?P点只能在线段AB上,即?1?x?3。又?x为整数,?整数x只能是

A-10B3?1,0,1,2,3,共5个

例6、 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?

来确定:

(1)若b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立.

(2)若ab>0时,则方程的解是正数;反之,若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立.

(3)若ab<0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立.

例9、 若abc=1,解方程

例10、 若a,b,c是正数,解方程:

【分析】用两种方法求解该方程。注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.

例11、 设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:

?x?+2?x?+3?x?+…+n?x?=n2?n?1?22

分析 要解此方程,必须先去掉[ ],由于n是自然数,所以n与(n+1)

…,n[x]都是整数,所以x必是整数.

例12、 已知关于x的方的解为自然数,试求自然

程: 且a为某些自然数时,方程数a的最小值.

1、1; x?9或x?3 2、5 知识点三——一元次方程解的情况 例6、

原方程化为:m2x?mnx?mn?n2?0整理得:m?m?n?x?n?m?n?①m+n≠0且m≠0时,方程的唯一解为x=n/m ; ②当m+n≠0,且m=0时,方程无解; ③当m+n=0时,方程的解为一切实数.

例7、a?

?abc?12ax2bx2bcx?原方程可化为:???1析:

ab?a?abcbc?b?1cab?cb?b2x2bx2bcx即:???1b?1?bcbc?b?11?cb?b

2x?1?b?bc?1??1?x?b?1?bc2例10、解析

32例9、解

原方程两边乘以abc,

得到方程:ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc, 移项、合并同类项得:

ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0, 因此有:[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0, 因为a>0,b>0,c>0,