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从一题多解谈高考数学复习(附参考答案)

在高考复习过程中,正确引导学生进行一题多解是培养学生发散性思维的有效方法,学生如果学会了发散性思维,就能全面考虑问题,就能沿着提供的已知条件、从不同角度去思考解决问题,这样就能开发学生智力,活跃学生思维、提高学生能力,只有培养了学生灵活运用知识的能力,才能达到高效复习的目标。本文以现行高中人教版选修2-1第二章P69页的 “例4:斜率为1的直线经过抛物线

的焦点,且与抛物线相交于A、B两

点,求线段AB的长。”的教学过程为例,谈一谈如何在例题教学中引导学生开展发散性思维的训练。现将教学过程的设计如下,供大家参考。

分析一(常规法):求直线与抛物线相交问题,可通过联立方程组求解交点坐标,然后由两点间距离公式求解距离.

解法一:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为线AB的方程为

. ①

(1,0),所以直

将方程①代入抛物线方程

化简得

解之得:将

,得 . .

的值分别代入方程①中,得

.

即A、B坐标分别为

.

.

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分析二(弦长公式法):先通过联立方程组,利用直线与圆锥曲线相交的弦长公式

.

解法二:如上图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为直线AB的方程为

. ①

.

.

分析三(数形结合法):考虑到直线恰好过焦点,便可与抛物线定义发生联系,利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线距离,从而达到求解目的.

解法三:在上图中,由抛物线的定义可知,

.

同理

,于是得

.

后,根据根与系数关系可以直接得到

等于点A到准线

的距离

(1,0),所以

将方程①代入抛物线方程得

化简得

由此可以看到,本题在得到方程

.

于是可以求出

|.

分析四(参数方程法):利用选修4-4中的参数方程知识,用直线的参数方程与抛物线方程进行联立,利用

计算.

(1,0),直线

解法四:如上图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为

的倾斜角为,所以直线AB的方程的参数方程为

得整理:

. .

联立参数方程与抛物线方程所以

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通过一题多解还可培养学生的多方向探索思考问题的能力,在平常的教学过程中取得了良好的教学效果,也为高考中解决有关解析几何压轴题奠定了很好的思维基础。

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