高一数学复习专题一:集合与函数 - 下载本文

专题一:集合与函数的定义

★1、N(自然数集)、N*(正整数集)、 Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)

2、A?B?{x|x?A或x?B}、CUA?{x|x?U,但x?B}

3、集合的表示方法:列举法、描述法与图示法(韦恩图、数轴与坐标系等),常借助表示方法进行集合的运算。

典型问题:

1、 已知集合M ={ x|(x + 2)(x-1) < 0 },

N ={ x| x + 1 < 0 },则M∩N =( ) A、 (-1,1) B、(-2,1) C、(-2,-1) D、 (1,2) 2、设集合

M?{y|y?x2?1,x?R},N?{y|y??x2?1,x?R},则M?N?( )

A、{0,1} B、{(0,1)} C、{1} D、非上述情况

3、如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素, 则实数a的值为 .

★ 函数的定义问题,主要掌握:求函数值、

简单的映射、判断函数的单调性与奇偶性、求定义域与值域。 一、求函数值与简单的映射。

x?1??2e,x<2,则f(f(2))的值为( ) 1、设f(x)??2??log3(x?1),x?2.A、0 B、1 C、2 D、3

M??1,2,3,m?,N?4,7,n4,n2?3n, 2、已知集合??m,n?N?,映射f:x?y?3x?1

是从M到N的一个函数,则m,n的值分别为( )

A、2,5 B、5,2 C、3,6 D、6,3

?2?x,x?(??,1]3、设函数f(x)=?,

log,x?(1,??)?81则满足f(x)=的x值为 。

4、设” f:A→B”是从A到B的一个映射, 其中A?B???x,y?x,y?R?,f:?x,y???x?y,xy?, 则A中元素(1,-2)的象是 ____,

B中的元素(1,-2)的原象是_________________

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二、判断函数的奇偶性与单调性 1、单调性

(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);

(2)判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:

1 任取x1,x2∈D,且x1

3 变形(通常是因式分解和配方)4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)○; ○的正负);

5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)○。 2、奇偶性

(1)如果对于任意x∈A,都有f(?x)?f(x),则称y=f (x)为偶函数。

如果对于任意x∈A,都有f(?x)??f(x),则称y=f (x)为奇函数。 (2)性质:① y= f (x)是偶函数?y= f (x)的图象关于y轴对称, y=f (x)是奇函数?y=f (x)的图象关于原点对称;

②偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同; ③奇±奇=奇;偶±偶=偶; 奇×奇=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇 ④对于F(x)= f [g(x)]:若g(x)是偶函数,则F(x)是偶函数

若g(x)是奇函数且f (x)是奇函数,则F(x)是奇函数

若g(x)是奇函数且f (x)是偶函数,则F(x)是偶函数

⑤奇函数在定义域内若有零:则f(0)=0 (3)奇偶性的判断: 1、定义

①看定义域是否关于原点对称, ②看f (x)与f (-x)的关系。 2、看图形的对称性。 典型问题:

a?2x?a?21、 已知函数f(x)?是定义在实数集上的

2x?1奇函数,则a?______

2、 设f(x)是定义在R上的奇函数,若当x≥0时,

f(x)=log3(1+x),则f(-2)=____ _。

exa?x是R上的偶函数。 3、设a?0,f(x)?ae(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,??)上为增函数。

三、函数定义域,主要有三种类型:

①分母不为零;②对数的真数大于零; ③被开偶数方根的数大于或等于零。

1、函数y?1?x?x的定义域为( ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}

3、 知函数

f(x)?11?x的定义域为M,

g(x)?ln(1?x)的定义域为N,则M?N?( )

A、{x|x>-1} B、{x|x<1} C、{x|-1

四、函数的值域

★重点掌握二次函数法:二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[m,n]上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。

求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系)

典型问题:

1、求函数y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域为_________;

2、若函数f(x)?(x?a)(bx?2a)(常数a,b?R)是偶函数,

4?,则该函数的解析式f(x)? . 且它的值域为???,

3、点P(x,y)在直线2x?y?3?0上,

22则(x?2)?(y?3)的最小值是_____